Пляшка Кляйна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Пляшка Клейна)
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ілюстрація пляшки Кляйна у тривимірному просторі.
Пляшка Кляйна може бути розрізана на дві стрічки Мебіуса

Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном.

Походження назви

[ред. | ред. код]

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова «поверхня Кляйна» (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.[1]

Топологія «пляшки»

[ред. | ред. код]

Уявлення про пляшку Кляйна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. малюнок.). Пляшка Кляйна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Кляйна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, причому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації краї позначені кольорами, а напрям орієнтації стрілками.

Пляшка Кляйна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу «пляшка Кляйна» вивчаються в топології.


Параметризація

[ред. | ред. код]
Реалізація пляшки Кляйна у вигляді «вісімки».

Пляшка Кляйна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

У цьому вигляді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа дорівнює радіусу кола. Параметр задає кут на площині XY і означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу зі співвідношенням амплітуд 2:1

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Bonahon, Francis (5 серпня 2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. ISBN 9780821848166.

Посилання

[ред. | ред. код]