Примарний розклад

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В абстрактній алгебрі примарним розкладом ідеала кільця (або, більш загально підмодуля модуля ) називається подання цього ідеала (чи модуля) у вигляді перетину примарних ідеалів (примарних підмодулів).

Примарний розклад узагальнює розклад цілого числа в добуток степенів різних простих чисел. Особливо важливим є випадок комутативних нетерових кілець. Для них існування примарного розкладу було доведено Еммі Нетер, яка узагальнила отриманий у 1905 році Ласкером результат про існування такого розкладу для кілець многочленів і збіжних степеневих рядів. Тому цей результат традиційно називається теоремою Ласкера — Нетер.

Означення

[ред. | ред. код]

Нехай комутативне кільце, і модулі над ним.

  • Дільник нуля модуля — елемент кільця , такий що для деякого ненульового з .
  • Елемент кільця називається нільпотентним в , якщо = 0 для деякого натурального числа .
  • Модуль називається копримарним, якщо кожен його дільник нуля є нільпотентним. Іншими словами, якщо відображення для кожного є або ін'єктивним або нільпотентним. У випадку скінченнопороджених модулів над нетеровим кільцем еквівалентною є умова, що для модуля існує єдиний асоційований простий ідеал.
  • Підмодуль модуля називається примарним, якщо є копримарним. Множина дільників нуля у цьому випадку є рівною радикалу . Цей ідеал є простим оскільки, очевидно добуток двох елементів, що не є дільниками нуля теж не є дільником нуля. Підмодуль тоді називається примарним. З означень очевидно, що якщо і тільки якщо або або
  • Ідеал є примарним, якщо він є примарним підмодулем як -модуля, тобто коли в фактор-кільці кожен дільник нуля є нільпотентним. Це означення є еквівалентним стандартному означенню: якщо ab належить I то або a належить I або bn належить I для деякого натурального числа n. Іншою еквівалентною умовою є те, що кожен дільник нуля у кільці R/I є нільпотентним.
  • Підмодуль модуля називається незвідним, якщо він не є перетином двох підмодулів строго більших за нього.
  • Простий ідеал, асоційований з модулем простий ідеал, який є анулятором деякого елемента модуля.

Теорема Ласкера — Нетер

[ред. | ред. код]

Теорема Ласкера — Нетер для модулів стверджує, що кожен підмодуль скінченнопородженого модуля над нетеровим кільцем є скінченним перетином примарних підмодулів. У випадку кілець ця теорема стверджує, що кожен ідеал нетерового кільця є скінченним перетином примарних ідеалів.

Еквівалентне формулювання: кожен скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем є підмодулем скінченного добутку копримарних модулів.

Доведення

[ред. | ред. код]

Нехай скінченнопороджений модуль над нетеровим кільцем і — підмодуль в . Для доведення існування розкладу для замінивши на достатньо розглянути випадок . Для довільних підмодулів модуля маємо еквівалентність:

Звідси, для підмодуля 0 існує примарний розклад якщо для кожного простого ідеала асоційованого з модулем (цих ідеалів є скінченна кількість, деталі у статті Асоційований простий ідеал), існує примарний підмодуль такий що .

Розглянемо множину (вона є непустою оскільки нульовий модуль є її елементом). Оскільки є нетеровим модулем то множина має максимальний елемент . Якщо не є -примарним, наприклад, є асоційованим простим ідеалом фактор-модуля , тоді для деякого підмодуля Q'. Але і також і з властивостей асоційованих простих ідеалів , що суперечить максимальності . Як наслідок є примарним.

Теореми єдиності

[ред. | ред. код]

Нехай R — комутативне кільце Нетер. Примарний розклад

називається незвідним, якщо для будь-якого і радикали компонент розкладу є попарно різними. Із довільного примарного розкладу можна отримати незвідний спершу вилучивши всі немінімальні компоненти, а потім замінивши компоненти з однаковим радикалом їх перетином (оскільки перетин примарних ідеалів з однаковим радикалом є примарним ідеалом з тим же радикалом).

Перша теорема єдиності примарного розкладу. Сукупність простих ідеалів при незвідному розкладі визначена однозначно ідеалом і не залежить від примарного розкладу. Ця множина рівна множині асоційованих простих ідеалів фактор-кільця .

Мінімальні за включенням елементи цієї сукупності називаються ізольованими простими ідеалами ідеала , інші — вкладеними простими ідеалами. Множина ізольованих простих ідеалів є рівною множині мінімальних простих ідеалів для ідеала .

Друга теорема єдиності примарного розкладу. Примарні ідеали, радикалами яких є ізольовані прості ідеали, однозначно визначаються ідеалом і не залежать від примарного розкладу.

Приклади

[ред. | ред. код]

Для кожного додатного цілого числа n, для кільця для ідеала існує примарний розклад

Асоційованими простими ідеалами для цього ідеала є

Тобто є ізольованим ідеалом і є відповідним компонентом, що зустрічається у кожному примарному розкладі.

Геометрична інтерпретація

[ред. | ред. код]

В алгебричній геометрії, афінна алгебрична множина V(I) є за означенням рівною множині нулів ідеала I в кільці многочленів

Незвідний примарний розклад

ідеала I задає розклад множини V(I) в об'єднання алгебричних многовидів , які є незвідними, тобто не є об'єднаннями двох менших алгебричних множин.

Якщо є радикалом ідеала , то і теорема Ласкера — Нетер демонструє, що V(I) має єдиний ненадлишковий розклад у об'єднання незвідних алгебричних многовидів:

де об'єднання береться лише за мінімальними асоційованими простими ідеалами. Ці прості ідеали є елементами примарного розкладу ідеала I.

Для випадку розкладу алгебричних многовидів значення мають лише мінімальні прості ідеали але в теорії перетинів і теорії схем весь примарний розклад має геометричний зміст.

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]
  • Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
  • Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics, т. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
  • Lasker, E. (1905), Zur Theorie der Moduln und Ideale, Math. Ann., 60: 19—116, doi:10.1007/BF01447495
  • Noether, Emmy (1921), Idealtheorie in Ringbereichen (PDF), Mathematische Annalen, 83 (1): 24, doi:10.1007/BF01464225[недоступне посилання]
  • Jean-Pierre Serre, Local algebra, Springer-Verlag, 2000, ISBN 3-540-66641-9.