Ряд обернених до простих чисел
Ряд обернених простих чисел розбіжний. Тобто:
Цей факт довів Леонард Ейлер 1737 року[1], що посилило результат Евкліда (III століття до н. е.), що існує нескінченно багато простих чисел.
Існує низка доведень результату Ейлера, включно з оцінкою нижньої межі часткових сум, яка стверджує, що
для всіх натуральних чисел n. Подвійний натуральний логарифм (ln ln) свідчить про те, що розбіжність ряду дуже повільна. Див. статтю Константа Майсселя — Мертенса.
Гармонічний ряд[ред. | ред. код]
Розбіжність даного ряду довів Ейлер. Для цього він розглянув гармонічний ряд:
А також таку «тотожність», за допомогою якої він також показав, що множина простих чисел нескінченна:
Тут добуток береться за всіма простими числами. Такі нескінченні добутки сьогодні називають добутками Ейлера[en]. Добуток вище є відображенням основної теореми арифметики. Ейлер зауважив, що якби кількість простих чисел була скінченною, то добуток праворуч мав би збігатися, що суперечить розбіжності гармонічного ряду.
Доведення[ред. | ред. код]
Доведення Ейлера[ред. | ред. код]
Продовжуючи міркування, описані вище, Ейлер взяв натуральний логарифм від кожного з боків. Потім він використав розклад у ряд Тейлора , а також збіжність обернених степеневих рядів:
з фіксованою константою K < 1. Потім він використав властивість
виведення якої від пояснив, наприклад, у пізнішій роботі 1748 року[2], присвоєнням x = 1 у розкладі Тейлора
Це дозволило йому зробити висновок, що
Імовірно, Ейлер мав на увазі, що сума величин, обернених до простих чисел менших від n, асимптотично зростає як ln ln n при прямуванні n до нескінченності. Виявилося, що це справді так і точнішу версію цього факту строго довів Франц Мертенс 1874 року[3]. Ейлер же отримав правильний результат за допомогою нестрогих методів.
Доведення Ердеша оціненням зверху і знизу[ред. | ред. код]
Наступне доведення від супротивного належить Палу Ердешу.
Нехай pi означає i-е просте число. Уявімо, що сума величин, обернених до простих чисел, збіжна. Тобто,
Тоді існує найменше додатне ціле число k, таке, що
Для додатного цілого x нехай Mx означає множину n з набору {1, 2, …, x}, які не діляться на будь-яке просте, більше від pk (або, еквівалентно, всі , які є добутком ступенів простих чисел ). Ми можемо тепер вивести верхню і нижню оцінку , числа елементів у . Для великих x ці межі приводять до суперечності.
Оцінка зверху:
- Будь-яке n у Mx можна записати у вигляді з додатними цілими m іr деr — вільне від квадратів число. Бо тільки k простих може бути (з показником 1) у розкладі на прості числа r, є не більше 2k різних можливостей для r. Більш того, є не більше можливих значень для m. Це дає верхню оцінку
Оцінка знизу:
- Решта чисел у різниці множин{1, 2, …, x} \ Mx всі діляться на прості числа, більші від . Нехай означає множину таких n з{1, 2, …, x}, які діляться наi-е просте . Тоді
- Оскільки число цілих чисел не перевершує (насправді, дорівнює нулю для ), отримуємо
- Використовуючи (1), звідси отримуємо
Маємо суперечність: якщо , оцінки (2) та (3) не можуть виконуватися одночасно, оскільки .
Доведення того, що ряд зростає зі швидкістю log-log[ред. | ред. код]
Існує інше доведення, яке дає нижню оцінку часткових сум. Зокрема, показує, що ці суми зростають щонайменше як ln ln n. Доведення є варіантом Ейлерової ідеї розкладання добутку. Далі в тексті суми або добутки p завжди є сумами або добутками за певними множинами простих чисел.
Доведення спирається на чотири нерівності:
- Будь-яке додатне цілеi можна єдиним чином подати у вигляді добутку вільних від квадратів чисел та квадрата. Це дає нерівність
- ,
- де для будь-якогоi між 1 та n (розкладений) добуток відповідає вільній від квадратів частині числаi, а сума відповідає квадратній частині числаi (див. статтю Основна теорема арифметики).
- Верхня оцінка натурального логарифма
- Нижня оцінка1 + x < exp(x) для показникової функції виконується для всіх x > 0.
- Нехай . Верхня межа (використовуємо телескопічний ряд) для часткових сум
Комбінуючи всі ці нерівності, отримуємо
Після ділення на та взяття натурального логарифма від обох частин отримаємо
- ,
що й потрібно було довести. ∎
Використовуючи
(Див. Базельська задача), константу вище можна покращити до . Фактично, виявляється що
- ,
де — стала Майсселя — Мертенса (щось подібне до відомішої сталої Ейлера — Маскероні).
Доведення з нерівності Дюзара[ред. | ред. код]
З нерівності Дюзара маємо
- для
Тоді
згідно з інтегральною ознакою збіжності Коші — Маклорена. Це показує, що ряд зліва розбіжний.
Часткові суми[ред. | ред. код]
Хоча часткові суми величин, обернених до простих чисел, врешті-решт перевищують будь-яке ціле значення, вони ніколи не можуть дорівнювати цілому числу.
Одне з доведень[4] цього виконується за індукцією: перша часткова сума дорівнює і вона має вигляд (тобто непарне/парне). Якщо n-а часткова сума (для ) має вигляд , то -а сума дорівнює
оскільки -е просте число непарне. Оскільки сума знову має вигляд , часткова сума не може бути цілим числом (знаменник ділиться на 2, але чисельник не ділиться), що й доводить твердження.
В іншому доведенні вираз для суми значень, обернених до перших n простих чисел, (або суми обернених значень будь-якої множини простих чисел) записується з найменшим спільним знаменником, який є добутком усіх цих простих чисел. Тоді кожне з цих простих чисел ділить усі члени чисельника, крім одного, а тому не ділить чисельник у цілому. Але кожне просте ділить знаменник. Таким чином, дріб нескоротний і не є цілим числом.
Див. також[ред. | ред. код]
- Теорема Евкліда, яка свідчить, що існує безліч простих чисел.
- Теорема Бруна про збіжність суми значень, обернених до простих чисел-близнюків, до константи Бруна.
Примітки[ред. | ред. код]
- ↑ Euler, 1737, с. 160–188.
- ↑ Euler, 1748, с. 228, ex. 1.
- ↑ Mertens, 1874, с. 46–62.
- ↑ Lord, 2015, с. 128–130.
Література[ред. | ред. код]
- William Dunham. Euler The Master of Us All. — MAA, 1999. — P. 61–79. — ISBN 0-88385-328-0.
- Leonhard Euler. Various observations concerning infinite series // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. — 1737. — Т. 9.
- Leonhard Euler. Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus. — Lausanne : Bousquet, 1748.
- Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Math.. — 1874. — Т. 78.
- Nick Lord. Quick proofs that certain sums of fractions are not integers // The Mathematical Gazette. — 2015. — Т. 99. — DOI: .
Посилання[ред. | ред. код]
- Caldwell, Chris K. There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?.
|