Теорія множин Цермело — Френкеля
Теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (позначається ZFC) — найпоширеніша аксіоматика теорії множин, і, через це, найпоширеніша основа математики.
ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.
Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина є елементом множини , та записується як .
ZFC є теорією першого порядку; в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.
Передумови створення[ред. | ред. код]
Аксіоматична теорія множин — напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Кантора і Рассела.
Першою аксіоматикою такого роду була система Z Цермело (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і А.Френкель (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав аксіомою підстановки. Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF. Ця система аксіом містить єдине примітивне онтологічне (фундаментальне) поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі досліджувані об’єкти є множинами. Запроваджено єдине бінарне відношення приналежності до множини.
Аксіоми ZFC[ред. | ред. код]
Порівняння[ред. | ред. код]
Аксіома екстенсіональності (об'ємності) (Z1)[ред. | ред. код]
Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.
Існування[ред. | ред. код]
Аксіома нескінченності (Z7)[ред. | ред. код]
Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.
Аксіома порожньої множини[ред. | ред. код]
Існує множина без елементів.
Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.
Побудови[ред. | ред. код]
Аксіома пари (Z2)[ред. | ред. код]
Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.
Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву синглетона).
Аксіома булеана (Z4)[ред. | ред. код]
Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.
Якщо ввести відношення підмножини , то формулу можна спростити:
Множину B називають булеаном множини A та позначають .
Аксіома об'єднання (Z5)[ред. | ред. код]
Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.
З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.
Схема специфікації (аксіома виділення) (Z3)[ред. | ред. код]
Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.
Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.
Схема перетворення (аксіома підстановки) (ZF)[ред. | ред. код]
Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.
Впорядкування[ред. | ред. код]
Аксіома регулярності (ZF)[ред. | ред. код]
В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.
Якщо ввести операцію перетину множин , то формулу можна спростити:
Аксіома вибору (Z6)[ред. | ред. код]
Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.
Надлишковість[ред. | ред. код]
- Аксіома порожньої множини явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в аксіому нескінченності.
- Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної аксіомної схеми підстановки та аксіоми порожньої множини.
- Аксіома пари виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.
Див. також[ред. | ред. код]
Джерела[ред. | ред. код]
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
|
|