Теорія потенціалу — розділ математики і математичної фізики , присвячений вивченню властивостей диференціальних рівнянь в частинних похідних в областях з досить гладкою границею за допомогою введення спеціальних видів інтегралів, залежних від певних параметрів , які називаються потенціалами .
Абстрактна теорія потенціалу — узагальнення теорії потенціалу на абстрактні топологічні простори ; як основа абстрактної теорії використовується поняття гармонійного простору — довільного топологічного простору, забезпеченого пучком неперервних дійснозначних функцій, що мають (зафіксовані аксіоматично ) властивості, характерні для гармонічних функцій .
Спочатку була створена як частина небесної механіки , що вивчає властивості сил тяжіння, що діють відповідно до закону всесвітнього тяжіння . Основний внесок у створення і початковий розвиток теорії внесли Ньютон , Лагранж , Лежандр , Лаплас . Зокрема, Лагранж показав, що поле сил тяжіння є потенційним .
Починаючи з Гауса метод потенціалів почав застосовуватися також для задач електростатики і магнетизму , як потенціалу стали розглядатися «маси» (заряди, намагніченість) довільного знака. В рамках розвитку теорії в XIX столітті виділилися основні крайові задачі: задача Діріхле , задача Неймана , задача Робена , задача про вимітання мас. Значний внесок у вивчення основних крайових задач наприкінці XIX століття внесли Ляпунов і Стеклов .
Результати теорії істотно узагальнені на початку XX століття з використанням апарату теорії міри і узагальнених функцій . Згодом в теорії потенціалів задіяні аналітичні , гармонічні і субгармонічні функції, інструментарій теорії ймовірностей .
У 1950-ті роки на основі методів топології і функціонального аналізу розроблена аксіоматична абстрактна теорія потенціалів.
Нехай S — гладка замкнута поверхня, тобто (n -1)-вимірний гладкий многовид без краю, в n -вимірному евклідовому просторі
R
n
,
n
⩾
2
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\;n\geqslant 2,}
який обмежує скінченна область
G
=
G
+
{\displaystyle G=G^{+}}
,
∂
G
=
S
{\displaystyle \partial G=S}
, і нехай
G
−
=
R
n
∖
(
G
+
∪
S
)
{\displaystyle G^{-}=\mathbb {R} ^{n}\setminus (G^{+}\cup S)}
— зовнішня нескінченна область. Позначимо:
E
(
x
,
y
)
=
E
(
|
x
−
y
|
)
=
{
1
ω
n
(
n
−
2
)
1
|
x
−
y
|
n
−
2
,
n
⩾
3
1
2
π
ln
1
|
x
−
y
|
,
n
=
2
{\displaystyle E(x,y)=E(|x-y|)={\begin{cases}{\frac {1}{\omega _{n}(n-2)}}{\frac {1}{|x-y|^{n-2}}},&n\geqslant 3\\{\frac {1}{2\pi }}\ln {\frac {1}{|x-y|}},&n=2\end{cases}}}
головний фундаментальний розв'язок рівняння Лапласа в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
де
|
x
−
y
|
{\displaystyle |x-y|}
— відстань між точками евклідового простору,
ω
n
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
/
2
)
{\displaystyle \omega _{n}=2\pi ^{n/2}\Gamma (n/2)}
— площа одиничної сфери в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
— гамма-функція .
Три інтеграли, що залежать від параметра x :
Z
(
x
)
=
∫
G
ρ
(
y
)
E
(
x
,
y
)
d
y
,
{\displaystyle Z(x)=\int \limits _{G}\rho (y)E(x,y)dy,}
V
(
x
)
=
∫
S
μ
(
y
)
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
,
{\displaystyle V(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y),}
W
(
x
)
=
∫
S
ν
(
y
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
.
{\displaystyle W(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y).}
де
n
y
{\displaystyle n_{y}}
— напрямок зовнішньої щодо
G
+
{\displaystyle G^{+}}
нормалі до S в точці y , називаються відповідно об'ємним потенціалом , потенціалом простого шару і потенціалом подвійного шару . Функції
ρ
(
y
)
,
μ
(
y
)
,
ν
(
y
)
{\displaystyle \rho (y),\mu (y),\nu (y)}
називаються щільностями відповідних потенціалів. Вони вважатимуться абсолютно інтегровними на відповідних областях.
При n = 3 (а іноді і при вищих значеннях) ці потенціали називаються ньютонівськими потенціалами , при n = 2 — логарифмічними потенціалами .
Нехай
ρ
(
x
)
{\displaystyle \rho (x)}
належить класу
C
1
(
G
∪
S
)
{\displaystyle C^{1}(G\cup S)}
. Тоді об'ємний потенціал і його похідні 1-го порядку неперервні усюди в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
і їх можна обчислити за допомогою диференціювання під знаком інтеграла, тобто
Z
∈
C
1
(
R
n
)
.
{\displaystyle Z\in C^{1}(\mathbb {R} ^{n}).}
Окрім того, виконується рівність:
lim
|
x
|
→
∞
(
Z
(
x
)
E
(
x
,
0
)
)
=
∫
G
ρ
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {Z(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{G}\rho (y)dy.}
Похідні 2-го порядку є неперервними всюди поза S , але при переході через поверхню S вони зазнають розрив, і до того ж в області
G
+
{\displaystyle G^{+}}
задовольняється рівняння Пуассона
Δ
Z
=
ρ
(
x
)
,
{\displaystyle \Delta Z=\rho (x),}
а в
G
−
{\displaystyle G^{-}}
— рівняння Лапласа
Δ
Z
=
0.
{\displaystyle \Delta Z=0.}
Перераховані властивості характеризують об'ємний потенціал.
Якщо
G
1
{\displaystyle G_{1}}
є обмеженою областю в
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
з границею
S
1
{\displaystyle S_{1}}
класу
C
1
,
{\displaystyle C^{1},}
то справедливою є формула:
∫
S
1
∂
Z
∂
n
x
d
S
1
(
x
)
=
−
∫
G
∩
G
1
ρ
(
y
)
d
y
.
{\displaystyle \int \limits _{S_{1}}{\partial Z \over \partial n_{x}}dS_{1}(x)=-\int _{G\cap G_{1}}\rho (y)dy.}
Нехай
μ
∈
C
1
(
S
)
.
{\displaystyle \mu \in C^{1}(S).}
Тоді потенціал простого шару
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
є гармонічною функцією для
x
∉
S
{\displaystyle x\notin S}
і також
lim
|
x
|
→
∞
(
V
(
x
)
E
(
x
,
0
)
)
=
∫
S
μ
(
y
)
d
S
(
y
)
.
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\left({\frac {V(x)}{E(x,0)}}\right)=\int _{S}\mu (y)dS(y).}
Зокрема
lim
|
x
|
→
∞
V
(
x
)
=
0
,
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }V(x)=0,}
при
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
, але у випадку
n
=
2
{\displaystyle n=2}
це справедливо тоді й тільки тоді, коли
∫
S
μ
(
y
)
d
S
(
y
)
=
0.
{\displaystyle \int _{S}\mu (y)dS(y)=0.}
Потенціал простого шару є неперервним всюди в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
також
V
(
x
)
{\displaystyle V(x)}
і його дотичні похідні неперервні при переході через поверхню S . Нормальна похідна потенціалу простого шару при переході через поверхню здійснює стрибок:
lim
x
′
∈
G
+
x
′
→
x
,
(
∂
V
(
x
′
)
∂
n
x
)
=
(
∂
V
∂
n
x
)
(
x
)
+
μ
(
x
)
/
2
,
{\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)+\mu (x)/2,}
lim
x
′
∈
G
−
x
′
→
x
,
(
∂
V
(
x
′
)
∂
n
x
)
=
(
∂
V
∂
n
x
)
(
x
)
−
μ
(
x
)
/
2.
{\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}\left({\frac {\partial V(x')}{\partial n_{x}}}\right)=\left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)(x)-\mu (x)/2.}
Через
(
∂
V
∂
n
x
)
{\displaystyle \left({\frac {\partial V}{\partial n_{x}}}\right)}
тут позначено так зване пряме значення нормальної похідної потенціалу простого шару, обчислене на поверхні S , тобто
∂
V
(
x
)
∂
n
x
=
∫
S
μ
(
x
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
,
x
∈
S
.
{\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial n_{x}}}=\int \limits _{S}\mu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}
Визначена таким чином функція є неперервною для
x
∈
S
,
{\displaystyle x\in S,}
а ядро
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}
має слабку особливість на S:
|
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
|
⩽
c
o
n
s
t
|
x
−
y
|
n
−
2
,
x
,
y
∈
S
.
{\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}
Перераховані властивості характеризують потенціал простого шару.
Нехай
ν
∈
C
1
(
S
)
.
{\displaystyle \nu \in C^{1}(S).}
Тоді потенціал простого шару
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
є гармонічною функцією для
x
∉
S
{\displaystyle x\notin S}
і також
lim
|
x
|
→
∞
ω
n
|
x
|
n
−
1
W
(
x
)
=
∫
S
ν
(
y
)
d
S
(
y
)
.
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }\omega _{n}|x|^{n-1}W(x)=\int _{S}\nu (y)dS(y).}
Потенціал подвійного шару при переході через поверхню S здійснює стрибок:
lim
x
′
∈
G
+
x
′
→
x
,
W
(
x
′
)
=
W
(
x
)
−
ν
(
x
)
/
2
,
{\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{+}}}W(x')=W(x)-\nu (x)/2,}
lim
x
′
∈
G
−
x
′
→
x
,
W
(
x
′
)
=
W
(
x
)
+
ν
(
x
)
/
2.
{\displaystyle \lim _{\stackrel {x'\rightarrow x,}{x'\in G^{-}}}W(x')=W(x)+\nu (x)/2.}
Через
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
тут позначено так зване пряме значення потенціалу подвійного шару на поверхні S , тобто
W
(
x
)
=
∫
S
ν
(
x
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
,
x
∈
S
.
{\displaystyle W(x)=\int \limits _{S}\nu (x){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),\;x\in S.}
Визначена таким чином функція є неперервною для
x
∈
S
,
{\displaystyle x\in S,}
а ядро
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)}
має слабку особливість на S:
|
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
|
⩽
c
o
n
s
t
|
x
−
y
|
n
−
2
,
x
,
y
∈
S
.
{\displaystyle \left\vert {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)\right\vert \leqslant {\frac {const}{|x-y|^{n-2}}},\;x,y\in S.}
Дотичні похідні теж здійснюють стрибок при переході через поверхню S, натомість нормальна похідна є неперервною при переході через поверхню S.
Перераховані властивості характеризують потенціал подвійного шару.
У випадку сталої щільності
ν
=
1
{\displaystyle \nu =1}
, справедливою є формула:
−
∫
S
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
=
{
1
,
x
∈
G
+
1
2
,
x
∈
S
0
,
x
∈
G
−
.
{\displaystyle -\int \limits _{S}{\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)={\begin{cases}1,&x\in G^{+}\\{\frac {1}{2}},&x\in S\\0,&x\in G^{-}\end{cases}}.}
Нехай
λ
⩾
0
{\displaystyle \lambda \geqslant 0}
— додатна міра Бореля на просторі
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
з компактним носієм
supp
λ
.
{\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}
Потенціал міри визначається як інтеграл :
E
λ
(
x
)
=
∫
E
(
x
,
y
)
d
λ
(
y
)
.
{\displaystyle E\lambda (x)=\int \limits E(x,y)d\lambda (y).}
Потенціал міри існує всюди в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
як відображення
E
λ
:
R
n
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle E\lambda :\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty ]}
при
n
⩾
3
,
{\displaystyle n\geqslant 3,}
і
E
λ
:
R
2
→
(
−
∞
,
∞
]
{\displaystyle E\lambda :\mathbb {R} ^{2}\to (-\infty ,\infty ]}
при
n
=
2
{\displaystyle n=2}
і є супергармонічною функцією всюди в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
що є гармонічною поза
supp
λ
.
{\displaystyle \operatorname {supp} \lambda .}
Для міри
λ
{\displaystyle \lambda }
довільного знака з компактним носієм, потенціал
E
λ
{\displaystyle E\lambda }
визначається, виходячи з канонічного розкладу
λ
{\displaystyle \lambda }
, у вигляді
λ
=
λ
+
−
λ
−
,
λ
+
⩾
0
,
λ
−
⩾
0.
{\displaystyle \lambda =\lambda ^{+}-\lambda ^{-},\;\;\lambda ^{+}\geqslant 0,\lambda ^{-}\geqslant 0.}
Тоді за визначенням
E
λ
=
E
λ
+
−
E
λ
−
.
{\displaystyle E\lambda =E\lambda ^{+}-E\lambda ^{-}.}
У тих точках, де обидва потенціали
E
λ
+
(
x
)
,
E
λ
−
(
x
)
{\displaystyle E\lambda ^{+}(x),E\lambda ^{-}(x)}
приймають нескінченні значення, цей потенціал є невизначеним.
Якщо міра
λ
⩾
0
{\displaystyle \lambda \geqslant 0}
зосереджена на гладкій поверхні S , можна визначити й потенціал подвійного шару міри :
∂
E
∂
n
x
λ
=
∫
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
λ
(
y
)
.
{\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial n_{x}}}\lambda =\int \limits {\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)d\lambda (y).}
Потенціал міри є скінченним усюди в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
за винятком точок полярної множини, множини зовнішньої ємності нуль. Якщо
E
λ
(
x
)
=
0
{\displaystyle E\lambda (x)=0}
всюди, крім множини зовнішньої ємності нуль, то
λ
=
0
{\displaystyle \lambda =0}
.
Якщо міра
λ
⩾
0
,
λ
≠
0
{\displaystyle \lambda \geqslant 0,\;\lambda \neq 0}
зосереджена на множині ємності нуль, то
sup
E
λ
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }
. Справджується наступний принцип максимуму:
E
λ
(
x
)
⩽
sup
{
E
λ
(
y
)
:
y
∈
supp
λ
}
.
{\displaystyle E\lambda (x)\leqslant \sup\{E\lambda (y):y\in \operatorname {supp} \lambda \}.}
Якщо звуження
sup
E
λ
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \sup E\lambda (x)=+\infty }
на
supp
λ
{\displaystyle \operatorname {supp} \lambda }
є неперервним (в узагальненому сенсі) в точці
x
0
∈
supp
λ
{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {supp} \lambda }
, то потенціал
E
λ
{\displaystyle E\lambda }
є неперервним в точці
x
0
{\displaystyle x_{0}}
в
R
n
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Потенціали міри зводяться до потенціалів щільності
ρ
(
x
)
,
ν
(
x
)
{\displaystyle \rho (x),\nu (x)}
, тоді й тільки тоді, коли міра
λ
{\displaystyle \lambda }
є абсолютно неперервною по мірі Лебега відповідно на G чи на S .
Якщо T — узагальнена функція , або розподіл, в
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
то потенціал розподілу визначається як згортка
E
∗
T
,
{\displaystyle E_{*}T,}
, що є також узагальнено. функцією. Наприклад, якщо T — фінітна узагальнена функція, то в сенсі узагальнених функцій виконується рівняння Пуассона:
Δ
E
T
=
−
T
.
{\displaystyle \Delta ET=-T.}
Потенціали мір можна розглядати як окремий випадок потенціалів розподілів.
Нехай функція
Φ
(
x
)
∈
C
2
(
G
∪
S
)
,
{\displaystyle \Phi (x)\in C^{2}(G\cup S),}
де S — гладка поверхня класу
C
2
.
{\displaystyle C^{2}.}
Тоді ця функція в області G рівна сумі об'ємного потенціалу і потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:
ρ
(
y
)
=
−
Δ
Φ
(
y
)
;
μ
(
y
)
=
∂
Φ
(
y
)
∂
n
y
;
ν
(
y
)
=
−
Φ
(
y
)
.
{\displaystyle \rho (y)=-\Delta \Phi (y);\;\mu (y)={\partial \Phi (y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-\Phi (y).}
Нехай функція
u
(
x
)
∈
C
1
(
G
∪
S
)
,
{\displaystyle u(x)\in C^{1}(G\cup S),}
де S — гладка поверхня класу
C
2
{\displaystyle C^{2}}
і
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)}
є гармонічною в області G.
Тоді ця функція в області G рівна сумі потенціалів простого і подвійного шару зі щільностями:
μ
(
y
)
=
∂
u
(
y
)
∂
n
y
;
ν
(
y
)
=
−
u
(
y
)
.
{\displaystyle \mu (y)={\partial u(y) \over \partial n_{y}};\;\nu (y)=-u(y).}
Знайти гармонічну в
G
+
{\displaystyle G^{+}}
функцію
u
(
x
)
∈
C
1
(
G
+
∪
S
)
,
{\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}
де
S
∈
C
1
,
α
,
α
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}
(
C
1
,
α
{\displaystyle C^{1,\alpha }}
позначає умову Гельдера ), що на границі S рівна деякій неперервній функції
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x).}
Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу подвійного шару
u
(
x
)
=
∫
S
ν
(
y
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
,
{\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y),}
де щільність є єдиним розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду :
∫
S
ν
(
y
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
−
1
/
2
ν
(
x
)
=
f
(
x
)
,
x
∈
S
.
{\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)-1/2\nu (x)=f(x),\;x\in S.}
Знайти гармонічну в
G
+
{\displaystyle G^{+}}
функцію
u
(
x
)
∈
C
1
(
G
+
∪
S
)
,
{\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}
де
S
∈
C
1
,
α
,
α
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}
(
C
1
,
α
{\displaystyle C^{1,\alpha }}
позначає умову Гельдера ), що на границі S задовольняє граничній умові
∂
u
(
x
)
∂
n
x
=
φ
(
x
)
,
{\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}
для деякої неперервної на S функції
φ
(
x
)
,
{\displaystyle \varphi (x),}
що задовольняє необхідну умову ортогональності
∫
S
φ
(
y
)
d
S
(
y
)
=
0.
{\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}
Розв'язок цієї задачі з точністю до константи можна записати у виді потенціалу простого шару
u
(
x
)
=
∫
S
μ
(
y
)
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
+
C
,
{\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y)+C,}
де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду :
∫
S
μ
(
y
)
∂
∂
n
x
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
+
1
/
2
μ
(
x
)
=
φ
(
x
)
,
x
∈
S
.
{\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)+1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}
Відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок
μ
0
,
{\displaystyle \mu _{0},}
а загальний розв'язок неоднорідного може бути записаним як
μ
(
x
)
+
c
μ
0
(
x
)
,
{\displaystyle \mu (x)+c\mu _{0}(x),}
де c — довільна константа.
Знайти гармонічну в
G
−
,
0
∈
G
+
{\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}
функцію
u
(
x
)
∈
C
1
(
G
+
∪
S
)
,
{\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}
де
S
∈
C
1
,
α
,
α
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}
(
C
1
,
α
{\displaystyle C^{1,\alpha }}
позначає умову Гельдера ), що на границі S рівна деякій неперервній функції
f
(
x
)
.
{\displaystyle f(x).}
При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:
lim
|
x
|
→
∞
|
x
|
n
−
2
u
(
x
)
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}
Розв'язок цієї задачі завжди існує є єдиним і його можна записати у виді:
u
(
x
)
=
∫
S
ν
(
y
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
+
A
|
x
|
n
−
2
,
{\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+{\frac {A}{|x|^{n-2}}},}
де A є константою, а щільність потенціалу є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду :
∫
S
ν
(
y
)
∂
∂
n
y
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
+
1
/
2
ν
(
x
)
=
f
(
x
)
−
A
|
x
|
n
−
2
,
x
∈
S
.
{\displaystyle \int \limits _{S}\nu (y){\partial \over \partial n_{y}}E(x,y)dS(y)+1/2\nu (x)=f(x)-{\frac {A}{|x|^{n-2}}},\;x\in S.}
Знайти гармонічну в
G
−
,
0
∈
G
+
{\displaystyle G^{-},\;0\in G^{+}}
функцію
u
(
x
)
∈
C
1
(
G
+
∪
S
)
,
{\displaystyle u(x)\in C^{1}(G^{+}\cup S),}
де
S
∈
C
1
,
α
,
α
∈
(
0
,
1
)
{\displaystyle S\in C^{1,\alpha },\;\alpha \in (0,1)}
(
C
1
,
α
{\displaystyle C^{1,\alpha }}
позначає умову Гельдера ), що на границі S задовольняє граничній умові
∂
u
(
x
)
∂
n
x
=
φ
(
x
)
,
{\displaystyle {\partial u(x) \over \partial n_{x}}=\varphi (x),}
для деякої неперервної на S функції
φ
(
x
)
.
{\displaystyle \varphi (x).}
При цьому функція вважається регулярною на нескінченності:
lim
|
x
|
→
∞
|
x
|
n
−
2
u
(
x
)
=
c
o
n
s
t
.
{\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|x|^{n-2}u(x)=const.}
При
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
розв'язок цієї задачі існує і є єдиним, для
n
=
2
{\displaystyle n=2}
розв'язок (єдиний з точністю до додавання константи) існує лише коли
∫
S
φ
(
y
)
d
S
(
y
)
=
0.
{\displaystyle \int _{S}\varphi (y)dS(y)=0.}
Розв'язок цієї задачі можна записати у виді потенціалу простого шару
u
(
x
)
=
∫
S
μ
(
y
)
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
,
{\displaystyle u(x)=\int \limits _{S}\mu (y)E(x,y)dS(y),}
де щільність є розв'язком інтегрального рівняння Фредгольма другого роду :
∫
S
μ
(
y
)
∂
∂
n
x
E
(
x
,
y
)
d
S
(
y
)
−
1
/
2
μ
(
x
)
=
φ
(
x
)
,
x
∈
S
.
{\displaystyle \int \limits _{S}\mu (y){\partial \over \partial n_{x}}E(x,y)dS(y)-1/2\mu (x)=\varphi (x),\;x\in S.}
При
n
⩾
3
{\displaystyle n\geqslant 3}
розв'язок цього рівняння існує і є єдиним. Для
n
=
2
{\displaystyle n=2}
відповідне однорідне рівняння має нетривіальний розв'язок
μ
0
,
{\displaystyle \mu _{0},}
а при виконанні необхідних умов неоднорідне рівняння має єдиний розв'язок для якого
∫
S
μ
1
(
y
)
d
S
(
y
)
=
0.
{\displaystyle \int _{S}\mu _{1}(y)dS(y)=0.}
Тоді загальний розв'язок можна записати як
μ
(
x
)
=
μ
1
(
x
)
+
c
μ
0
(
x
)
,
{\displaystyle \mu (x)=\mu _{1}(x)+c\mu _{0}(x),}
де c — довільна константа.
A.I. Prilenko, E.D. Solomentsev (2001), Potential theory , у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
E.D. Solomentsev (2001), Abstract potential theory , у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики , М., 1953
Ландкоф Н. С., Основы современной теории потенциала , М., 1966
S. Axler, P. Bourdon, W. Ramey (2001). Harmonic Function Theory (2nd edition). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95218-7 .