Антидискретна топологія
Перейти до навігації
Перейти до пошуку
Антидискретна топологія або тривіальна топологія — це топологія, яка складається з порожньої та найбільшої множини. Це мінімальний набір множин, який може буде в топології.
Іншими словами, антидискретна топологія на непорожній множині має вигляд . Топологічний простір називається антидискретним[1].
- Ця топологія є найслабшою для .
- , є одночасно відкритими і замкненими множинами.
- Довільна підмножина є компактною і секвенціально компактною.
- Довільна точка простору є граничною точкою довільної неодноточкової множини.
- Кожна послідовність точок антидискретного простору збігається до будь-якої точки цього простору.
- Довільна неодноточкова множина є щільною в собі. Єдиною ніде не щільною множиною є . Тому є простором другої категорії.
- є сепарабельним простором, оскільки кожна підмножина є скрізь щільною в ньому.
- задовольняє другу аксіому зліченності.
- Кожне відображення в антидискретний простір неперервне.
- є дугово зв'язним в тому й лише в тому разі, коли він незліченний.
- є лінійно зв'язним, а тому і зв'язним.
- псевдометризовний, але не метризовний.
- ультразв'язний та гіперзв'язний.
- є , та -простором. Якщо містить більше однієї точки, то він не є -простором.
- ↑ Борисенко, О. А., Диференціальна геометрія і топологія : Навч. посібник для студ. — Харків : Основа, 1995 . с. 216
1.Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446