Ланцюгове правило (правило диференціювання складеної функції) дозволяє обчислити похідну композиції двох і більше функцій на основі індивідуальних похідних.
Якщо функція f має похідну в точці
, а функція g має похідну в точці
, тоді складена функція h(x) = g(f(x)) також має похідну в точці
.
Оператор \ Функція
|
|
|
Диференціал
|
1:
|
2:
3:
|
Часткова похідна
|
|
|
Повна похідна
|
|
|
Нехай функції, визначені в околах на числовій прямій,
де
і
Нехай також ці функції диференційовані:
Тоді їх композиція також диференційована:
і її похідна має вигляд:
![{\displaystyle h'(x_{0})=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058dc8f2f843e0d9a7750915f7383e439e11315e)
У позначеннях Лейбніца ланцюгове правило для обчислення похідної функції
де
набуває такого вигляду:
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f757eb9bde95ba67010d26c9d5ef9611df2a5f06)
Диференціал функції
в точці
має вигляд:
![{\displaystyle dz=g'(y_{0})\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c1421868a4eb32a0fbab55f8c5aa068b6d2a94)
де
— диференціал тотожного відображення
:
![{\displaystyle dy(h)=h,\quad h\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72eb7e91e873cd9a8244238910aa92648d4ee6)
Нехай тепер
Тоді
, і згідно з ланцюговомим правилом:
![{\displaystyle dz=g'{\bigl (}f(x_{0}){\bigr )}\cdot f'(x_{0})\,dx=g'(y_{0})\,dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dbb2e5b075435fbc81d646265677a4d96c48c58)
Таким чином, форма першого диференціала залишається тою самою в незалежності від того, є змінна функцією чи ні.
Нехай
Тоді функція
може бути записана у вигляді композиції
де
![{\displaystyle f(x)=3x^{2}-5x,\;g(y)=y^{7}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae74dd55d1f496a1ca4b3cb96b0da9b5f700045e)
Диференціюємо ці функції окремо:
![{\displaystyle f'(x)=6x-5,\;g'(y)=7y^{6},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b52fff26bfc908929d5d025dc0e3cddc9f18649)
отримуємо
![{\displaystyle h'(x)=7(3x^{2}-5x)^{6}\cdot (6x-5).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49e5cf39bdcf9ddb716ab45129b8aa6f254637c)
Нехай дані функції
де
і
Нехай також ці функції диференційовані:
і
Тоді їх композиція також диференційована, і її диференціал має вигляд
![{\displaystyle dh(x_{0})=dg(y_{0})*df(x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13d2feb3dece58318b636ff7bb34850245abede1)
Зокрема, матриця Якобі функції
є добутком матриць Якобі функцій
і
![{\displaystyle {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}={\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\cdot {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1904279bc28e52eb9d78e30b7e5d87cceb92971b)
- Якобіан композиції двох функцій є добутком якобіанів індивідуальних функцій:
![{\displaystyle \left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert =\left\vert {\frac {\partial (h_{1},\ldots ,h_{p})}{\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}}\right\vert \cdot \left\vert {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{m})}}\right\vert .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb865be26c81a98473854ff1c7a9b0558066c6b)
Для часткових похідних складеної функції справедливо
![{\displaystyle {\frac {\partial h(x_{0})}{\partial x_{j}}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(y_{0})}{\partial y_{i}}}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}},\quad j=1,\ldots m.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d214c956c9ca2dcd7bf3766f1fde9c16e59d19f)