Радикальна ознака Коші

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Радикальна ознака Коші — ознака збіжності числового ряду:

Якщо для числового ряду

з невід'ємними членами існує таке число , , що, починаючи з деякого номера, виконується нерівність то даний ряд збіжний.

Дана ознака була вперше розглянута французьким математиком Огюстеном-Луї Коші, який опублікував доведення у своєму підручнику Cours d'analyse (1821)[1].

В англомовній літературі дану ознаку частіше називають просто "Root test"[1], опускаючі ім'я автора.

Гранична форма

[ред. | ред. код]

Умова радикальної ознаки рівносильна наступному [2]:

Тобто можна сформулювати радикальну ознаку збіжності знакододатного ряду в граничній формі:

Якщо для ряду

, то
якщо ряд збігається,
якщо ряд розбігається.

Доведення

[ред. | ред. код]

1. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:

Розкривши модуль, одержимо:

Оскільки , то ряд збігається. Тоді за ознакою порівняння ряд теж збігається.

2. Нехай . Очевидно, що існує таке , що . Оскільки існує границя , то підставивши в означення границі вибране одержимо:

Розкривши модуль, одержимо:

Оскільки , то ряд розбіжний. Тоді за ознакою порівняння ряд теж розбіжний.

Приклади

[ред. | ред. код]

1. Ряд

збіжний, оскільки виконується умова граничної форми радикальної ознаки

2. Розглянемо ряд

ряд збіжний

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Internet Archive, U. (Umberto) (1986). The higher calculus : a history of real and complex analysis from Euler to Weierstrass. New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96302-0.
  2. Бакун (2021). Математичний аналіз Частина ІІІ Числові й функціональні ряди. Інтеграли, залежні від параметра (PDF). Т. 3. с. 45. {{cite book}}: Вказано більш, ніж один |pages= та |page= (довідка)