Дія Ейнштейна — Гільберта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Дія Ейнштейна — Гільберта — дія, яка дозволяє виводити рівняння Ейнштейна у загальній теорії відносності через принцип найменшої дії. Гравітаційна частина дії дається формулою[1]

де  — визначник метричного тензора,  — скаляр Річі, а  — гравітаційна стала Ейнштейна ( — гравітаційна стала,  — швидкість світла у вакуумі). Застосування рівняння Ейлера — Лагранжа до дії Ейнштейна — Гільберта дає рівняння Ейнштейна.

Вперше цю дію запропонував Давид Гільберт у 1915 році[2].

Виведення рівнянь поля Ейнштейна

[ред. | ред. код]

Виведення рівнянь руху з дії має кілька переваг. По-перше, це дозволяє легко поєднати загальну теорію відносності з іншими класичними теоріями поля (наприклад, теорією Максвелла), які також сформульовані в термінах дії. Крім того, симетрії дії дозволяють легко ідентифікувати збережувані величини за допомогою теореми Нетер.

Рівняння Ейнштейна в присутності матерії отримують додаванням дії матерії до дії Ейнштейна — Гільберта. Припустимо, що повна дія задана членом Ейнштейна — Гільберта плюс член , який описує будь-які поля матерії, наявні в теорії:

.

 

 

 

 

(1)

Тоді принцип найменшої дії говорить, що для виведення фізичного закону ми повинні вимагати, щоб варіація цієї дії зі змінами оберненої метрики дорівнювала нулю, що дає

.

Оскільки це рівняння має виконуватися для будь-якої варіації , то

 

 

 

 

(2)

Права частина цього рівняння руху (за визначенням) пропорційна тензору енергії-імпульсу[3],

.

Щоб обчислити ліву частину рівняння, нам потрібні варіації скаляра Річі і визначника метрики. Їх можна отримати за допомогою стандартних розрахунків, таких як наведені нижче розрахунки на основі підручника Керролла (2004)[4].

Варіація скаляра Річі

[ред. | ред. код]

Варіація скаляра Річі випливає з варіації тензора кривини Рімана, а потім тензора кривини Річі.

Перший крок фіксується рівністю Палатіні[en]

.

Використовуючи правило добутку, варіація скаляра Річі перетворюються на

де ми також використали метричну зв'язність і перейменували індекси підсумовування в останньому члені.

При множенні на , член стає повною похідною, оскільки для будь-якого вектора і будь-якої тензорної густини , ми маємо

або .

За теоремою Стокса, така повна похідна при інтегруванні дає лише граничний член. Цей граничний член в загальному випадку не дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція залежить не тільки від а й від його часткових похідних . Подробиці наведені в статті Граничний член Гіббонса — Гокінга — Йорка[en]. Однак коли варіація метрики зникає в околицях границі або коли границі немає, цей член не дає внеску у варіацію дії. Таким чином, ми можемо забути про цей член і просто отримати

.

 

 

 

 

(3)

для подій не на замиканні границі.

Варіація визначника

[ред. | ред. код]

Формула Якобі[en], правило диференціювання визначника, дає:

,

тобто можна перейти в систему координат, де діагональна, а потім застосувати правило добутку, щоб продиференціювати добуток членів на головній діагоналі. Використовуючи це, ми отримуємо

.

В останній рівності ми використали той факт, що

,

що випливає з правила диференціювання оберненої матриці

.

Таким чином робимо висновок

.

 

 

 

 

(4)

Рівняння руху

[ред. | ред. код]

Тепер, коли ми маємо в своєму розпорядженні всі необхідні варіації, ми можемо підставити (3) і (4) в рівняння руху (2) для метричного поля, отримуючи

,

 

 

 

 

(5)

яке є рівнянням поля Ейнштейна, а

було обрано таким чином, щоб нерелятивістський граничний випадок давав звичайну форму ньютонівського закону всесвітнього тяжіння, де є гравітаційною сталою.

Космологічна стала

[ред. | ред. код]

Коли в лагранжіан включена космологічна стала Λ, дія стає

.

Беручи варіації за зворотною метрикою, отримуємо

За принципом найменшої дії,

Комбінуючи цей вираз із результатами, отриманими раніше:

ми можемо отримати

З вираз стає рівнянням поля з космологічною сталою:

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Feynman, Richard P. (1995). Feynman Lectures on Gravitation. Addison-Wesley. p. 136, eq. (10.1.2). ISBN 0-201-62734-5.
  2. Die Grundlagen der Physik [Foundations of Physics], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen – Mathematisch-Physikalische Klasse (German) , 3, 1915: 395—407
  3. Blau, Matthias (27 липня 2020), Lecture Notes on General Relativity (PDF), с. 196
  4. Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2

Література

[ред. | ред. код]