Користувач:SkyShad/Чернетка

В квантовій теорії поля, масова щілина є різницею в енергії між станом з найнижчою енергією (вакуумом) і наступним енергетичним рівнем. Енергія вакууму є 0 за означенням, і, вважаючи, що кожному енергетичному рівню можна поставити у відповідність хвильову функцію деякої вільної частинки, то масова щілина є масою найлегшої частинки.

Загальна ідея

Проблема масової щілини є відкритою теоретичною проблемою в квантованій теорії Янга-Мілса, яка є тісно пов'язаною з явищем конфайнменту в квантовій хромодинаміці (КХД), тобто взагалі з існуванням адронної, і зокрема, баріонної матерії.

Лагранжіан теорії Янга-Мілса, пов'язаний до ферміонних полів (у КХД, зокрема) побудований таким чином, що постулює існування кварків і безмасових глюонів. Дійсно, вважається, що високотемпературна КХД гарно описує степені свободи кварк-глюонної плазми.

Але за малих (відносно) температур [what temperatures?] в експериментах і в симуляції КХД на гратці було показано[link to experiments?], що відбувається конфаймент кварків, а це означає, що низькоенергетичні стани більше не являються вільними (безмасовими) кварками і глюонами, а існують зв'язані стани, які формують адрони (включаючи, що важливо, протони і нейтрони, тобто всю звичайну баріонну матерію спостережуваного всесвіту).

Проблема масової щілини є проблемою математичної фізики, в якій потрібно теоретично показати (не комп'ютерними симуляціями) існування феномену масової щілини/конфайнменту в квантовій хромодинаміці і теорії Янга-Мілса побудованій на ферміонних полях в цілому. Ця проблема є широковідомою у спільноті фізиків елементарних частинок (див. наприклад [Kutschke 96]), але після оголошення списку "Проблем Тисячоліття" вона також здобула інтерес у спільноті математиків[link] та математичних фізиків (див. Jaffe-Witten).

Проблема тисячоліття

У 2000-му році Математичний Інститут Клея оголосив список з семи математичних проблем, охарактеризованих як «важливі класичні задачі, розв'язання яких не знайдено впродовж багатьох років». З семи оголошених математичних проблем, дві являються проблемами математичної фізики, а саме проблема існування гладких розв'язків рівняння Нав'є-Стокса і проблема масової щілини у теорії Янга-Мілса. На думку деяких представників фізичної спільноти, а саме Едварда Віттена, це сама важка з "Проблем тисячоліття", але, звісно, не всі розділяють цю думку.

Формулювання проблеми:

Довести, що нетривіальна квантова теорія Янга-Мілса існує на просторі $R^{4}$ для будь-якої простої компактної калібрувальної групи $G$ та має ненульову масову щілину $\Delta >0$.

Математичне формулювання

Нехай є теорія з гамільтоніаном $H$, така, що його енергетичний спектр має нуль - вакуумний стан, а також лежить в проміжку $(\Delta ;+\infty )$, причому $\Delta$ - скінченна. Отже, $\Delta$ є найнижчим енергетичним рівнем (не вакуумним) такої системи, і в проміжку $(0;\Delta )$ енергетичний спектр відсутній - система не фізична.

Ця $\Delta$ і є масовою щілиною.

Формулювання через кореляційну функцію:

$\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}e^{-\Delta _{n}t}$

Це важливо для КХД (квантової хромодинаміки), адже з експерименту відомо, що сильна взаємодія - короткодіюча, отже повинна переноситися масивними збудженнями. З іншого боку, в лагранжіані теорії неможливо ввести масивні глюони, бо в такому випадку теорія буде неперенормованою[link]. Це і означає, що повинна бути масова щілина - взаємодія переноситься масивними збудженнями, як, наприклад, так званими "глюболами" - безкольоровими масивними комбінаціями глюонів, або легкими мезонами.

Як приклад теорії з масовою щілиною можна представити тривимірну квантову електродинаміку (КЕД), що відповідає компактній тривимірній $U(1)$ групі.

Аналогія з КЕД

Компактна тривимірна $U(1)$ ґраткова калібрувальна теорія є однією з найкраще дослідженних нетривіальних моделей. Важливим є те, що теорія має певні аналогії з КХД, такі як конфайнмент та порушення хіральної симметрії.

Запишемо дію Вільсона для компактної $U(1)$ моделі в (2+1) вимірі:

$S=\beta \sum _{r,\mu <\nu }U_{\mu \nu }(r)$

Де $U_{\mu \nu }(r)$ - плакетний вклад у дію, а $\beta ={\dfrac {a}{e^{2}a_{s}^{2}}}={\dfrac {1}{g^{2}}}\Delta \tau$.

В розкладі слабкого зв'язку дію можна переписати наступним чином:

$S=\beta \left[\Delta \tau \sum _{r}\sum _{\mu <\nu }\left(1-\cos {\theta _{\mu \nu }(r)}\right)\right]$

Антисиметрична масова щілина є фундаментальною ознакою саме компактної тривимірної $U(1)$ теорії. Було доведено [link], що в континуальній границі модель переходить до теорії з вільним скалярним полем масивних бозонів - так званих монополів. Їх конденсація і пояснює масову щілину в $U(1)$ моделі. В такому випадку границя для масової щілини поводить себе наступним чином:

$am_{D}={\sqrt {\dfrac {8\pi ^{2}}{g^{2}}}}\exp {\left[-{\dfrac {\pi ^{2}}{g^{2}}}v(0)\right]}$

Де $v(0)=0,2527$ - кулонівський потенціал при нульовій відстані.

Можливо (поки що немає ні практичного, ні теоретичного підґрунття), подібний механізм призводить до появи масової щілини в квантовій-хромодинаміці. Також, вже теоретично передбачені масивні частинки, кандидати на перенесення сильної взаємодії, як, наприклад, глюболи або легкі мезоні.

Обчислення масової щілини в КХД

Щоб знайти масову щілину в квантовій хромодинаміці можна йти подібним шляхом, як і в квантовій електродинаміці:

$\langle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\rangle _{C}\sim e^{-\Delta r}$

$C$ означає, що необхідна зв'язна частина кореляційної функції.

$\langle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\rangle _{C}=\langle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\rangle -\langle F_{\mu \nu }\rangle ^{2}$

Тобто, необхідно розраховувати кореляційну функцію полів і сподіватися, що отримаємо потрібне експоненційне згасання з відстанню.

Інший метод: побудувати трансфер-матрицю[link] на решітці, яку можна звести до діагонального вигляду. Так як власні числа трансфер матриці є проекціями на стан системи, то в такому випадку друге власне число (або друге діагональне число) і буде масовою щілиною (адже перше, очевидно, відповідає за вакуумний стан системи).

В сучасній фізиці фізичні спостережувані величини квантової хромодинаміки можна обчислювати наступними методами:

• Теорія збурень;
• Наближення сильного зв'язку на ґратці;
• Метод Монте-Карло.

Теорія збурень

Це наближення побудоване на припущенні асимптотичної свободи, адже відомо, що константа сильної взаємодії $\alpha _{s}$ мала при великих енергіях або на малих відстанях взаємодії.

На жаль, за допомогою цього підходу не можна вивести наявність масової щілини, а отже, він не повністю описує експериментальні дані.

Розклад сильного зв'язку на ґратці

Іншим методом, за яким можна розрахувати фізичні параметри (кореляційні фукнції і їх поведінку) є наближення КХД на ґратці. В такому підході використовується набір дискретних просторово-часових точок (який називається ґраткою), для того щоб з розрахунку від інтегралів по траекторіям перейти до чисельних розрахунків на решітці.

У розкладі сильного зв'язку малим параметром є $1/g^{2}$. При чисельних розрахунках можна отримати масову щілину для КХД, але цей розв'язок не продовжується на континуальну границю.

Масову щілину дає кореляційна функція на плакетних полях:

$\langle U_{\mu \nu }({\vec {x}})U^{\mu \nu }({\vec {y}})\rangle \sim e^{-\Delta |{\vec {x}}-{\vec {y}}|}$

Тут $U_{\mu \nu }$ - плакетний вклад у дію, $\Delta$ - масова щілина.

$U_{\mu \nu }({\vec {x}})=U_{\mu }({\vec {x}})U_{\nu }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\mu })U_{\mu }^{\dagger }({\vec {x}}+{\vec {e}}_{\nu })U_{\nu }^{\dagger }({\vec {x}})$

Тут $U_{\nu }({\vec {x}})$ - паралельний транспортер що задається в узлі ${\vec {x}}$, причому $U_{\mu }\in SU(N)$. Вектори ${\vec {e}}_{\mu }$ - це одиничні вектори вздовж лінків у напрямі $\mu$.

Метод Монте-Карло

Іншим потужним інструменом первинного неаналітичного аналізу є симуляції методом Монте-Карло[link]. Існує досить велика кількість програмних пакетів, імплементуючих КХД на ґратці. З оглядом цієї теми, а також з існуючими реалізаціями можна ознайомитися у роботах[links].

Спрощений псевдокод[link] симуляції наведений нижче:

/*

repeat n times{ \\

get random configuration C1 \\

calculate Boltzman weight W1 of configuration C1  \\

get configuration C2 from C1 after m steps, based on theory's action  \\

calculate Boltzman weight W2 of configuration C2 \\

if W2 < W1:  \\

continue // we don't count improbable configurations\\

else: \\

save correlation functions and other values of interest\\

}\\

*/

В такому підході значення n можуть бути мільйони, а m тисячі. Варто зазначити, що якщо Больцманівська вага[link] конфігурації зменшується, ми не враховуємо цю ітерацію.

Глюболи

Для забезпечення калібрувальної інваріантності в КХД необхідно, щоб глюони були безмасовими частинками, але так як сильна взаємодія корткодіюча, то вона повинна переноситися масивними збудженнями. Щоб це обійти можна ввести глюболи - масивні безкольорові комбінації глюонів, які і переносять взаємодію. Вважається, що маса найлегшого глюболу і буде шуканою масовою щілиною в КХД.

В фізиці елементарних частинок глюболи - це теоретично передбачена частинка, що складається виключно з глюонів без включення кварків. Такий стан можливий через те, що глюони сильно взаємодіють не тільки з кварками, а і між собою. Так як глюболи схожі на певні мезони, то задетектувати їх дуже складно.

Теоретичні розрахунки показують, що глюболи повинні існувати в діапазонах енергій, які можуть бути отримані вже на сучасних прискорювачах.

Існування глюболів є одним з найважливіших теоретичних передбачень сучасної Стандартної Моделі елементарних частинок. Тим не менш, експериментально існування глюболів ще не було підтверджено.