Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Лемніската Бута
Лемніска́та Бу́та — плоска алгебрична крива четвертого порядку, частковий випадок кривої Персея . Названа на честь англо-ірландського математика Джеймса Бута [en] .
Рівняння у декартових координатах :
(
x
2
+
y
2
)
2
−
(
2
m
2
+
c
)
x
2
+
(
2
m
2
−
c
)
y
2
=
0.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-(2m^{2}+c)x^{2}+(2m^{2}-c)y^{2}=0.}
Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами
m
{\displaystyle m}
і
c
{\displaystyle c}
. Якщо
c
>
2
m
2
{\displaystyle c>2m^{2}}
, то рівняння лемніскати набуде вигляду
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
2
x
2
+
b
2
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}}
, де
a
2
=
2
m
2
+
c
{\displaystyle a^{2}=2m^{2}+c}
і
b
2
=
c
−
2
m
2
.
{\displaystyle b^{2}=c-2m^{2}.}
У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною . Її рівняння у полярних координатах має вигляд
ρ
2
=
a
2
cos
2
ϕ
+
b
2
sin
2
ϕ
.
{\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .}
Якщо
c
<
2
m
2
{\displaystyle c<2m^{2}}
, то рівняння лемніскати набуде виду
(
x
2
+
y
2
)
2
=
a
2
x
2
−
b
2
y
2
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}}
, де
a
2
=
2
m
2
+
c
{\displaystyle a^{2}=2m^{2}+c}
і
b
2
=
2
m
2
−
c
.
{\displaystyle b^{2}=2m^{2}-c.}
У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною . Її рівняння у полярних координатах має вигляд
ρ
2
=
a
2
cos
2
ϕ
−
b
2
sin
2
ϕ
.
{\displaystyle \rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .}
При
c
=
2
m
2
{\displaystyle c=2m^{2}}
лемніската Бута вироджується у два кола
x
2
+
y
2
±
2
m
x
=
0.
{\displaystyle x^{2}+y^{2}\pm 2mx=0.}
При
c
=
0
{\displaystyle c=0}
лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі .
Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда
x
2
+
y
2
=
c
z
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=cz}
з поверхнею конуса
a
2
x
2
+
b
2
y
2
=
c
2
z
2
.
{\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.}
Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку
a
2
x
2
±
b
2
y
2
=
k
4
{\displaystyle a^{2}x^{2}\pm b^{2}y^{2}=k^{4}}
з центром у початку координат.
За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:
2
∫
0
π
2
(
a
2
cos
2
ϕ
+
b
2
sin
2
ϕ
)
d
ϕ
=
π
2
(
a
2
+
b
2
)
.
{\displaystyle 2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).}
Для гіперболічної лемніскати:
∫
0
arctg
a
b
(
a
2
cos
2
ϕ
−
b
2
sin
2
ϕ
)
d
ϕ
=
a
2
−
b
2
2
arctg
a
b
+
a
b
2
.
{\displaystyle \int \limits _{0}^{\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}+{\frac {ab}{2}}.}
А. А. Савелов . Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / Под ред. А. П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960. — С. 144—146. — 294 с.
Математическая энциклопедия / Под. ред. И. М. Виноградова. — Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 566.
Weisstein, Eric W. Hippopede (англ.) на сайті Wolfram MathWorld .
Courbe de Booth [Архівовано 12 травня 2020 у Wayback Machine .] (фр.)