Магнітні поверхневі рівні

Магнітні поверхневі рівні — квантові рівні енергії електронів, що здійснюють періодичний рух уздовж поверхні металу, паралельно до якої прикладено зовнішнє магнітне поле. Вперше виявлено та пояснено М. С. Хайкіним у 1960 році. Наукове відкриття, зареєстроване у Державному реєстрі відкриттів СРСР .

Квазикласична теорія

Рис. Траєкторії поверхневих електронів у реальному та імпульсному просторах.

При дзеркальному відбитті носіїв заряду поверхнею в паралельному магнітному полі $H$ електрони рухаються по траєкторіях, що «скачуть», для яких кожна наступна ділянка відтворює попередню (див. Рис.). Рух електрона вздовж нормалі до поверхні (вісь $y$) є періодичним, і, відповідно до загальних принципів квантової механіки, квантується. Квазикласичні рівні енергії можуть бути знайдені з умови квазікласичного квантування Ліфшиця — Онсагера площі, яку обмежує траєкторія електрона в імпульсному просторі (Рис.):

${{S}_{n}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n+\gamma \right),\quad \quad (1)$

де $n\gg 1$ — ціле позитивне число, $e$ — абсолютна величина заряду електрона, $c$ — швидкість світла, $\left|\gamma \right|<1$ . Розрахунок виходячи з рівняння Шредінгера (див. нижче) показує, що $\gamma \approx -1/4$. У металах найбільшу ймовірність дзеркального відбиття від границі мають електрони, що стикаються з нею під малими кутами, $\varphi \ll 1$, оскільки для таких електронів дебройлівська довжина хвилі, пов'язана з рухом вздовж нормалі до поверхні, менша за розмір поверхневих неоднорідностей. У цьому випадку площа сегменту $S$ кола з ларморівським радіусом ${{r}_{H}}=cp/eH$ ($p$ — радіус кривини орбіти в імпульсному просторі) та його висота $h$ дорівнюють:

$S\approx {\frac {2}{3}}r_{H}^{2}{{\varphi }^{3}};\quad h\approx {\frac {{{r}_{H}}{{\varphi }^{2}}}{2}}.\quad \quad (2)$

Використовуючи формули (1), (2), отримуємо:

${{S}_{n}}={\frac {4}{3}}{{\left({\frac {eH}{c}}\right)}^{2}}{{\left(2h_{n}^{3}{{r}_{H}}\right)}^{1/2}}={\frac {2\pi e\hbar H}{c}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right),\quad \quad (3)$

де $h_{n}$ — дискретні значення висоти сегмента. Оскільки при $y\ll r_{H}$ швидкість електрона $\mathbf {v}$ спрямована майже паралельно поверхні, ${{v}_{x}}\gg v_{y}$, то приблизно можна вважати, що сила Лоренца спрямована за нормаллю і дорівнює ${{F}_{y}}=(e/c)v_{x}H$, а кожному значенню $h_{n}$, яке слід визначити з рівняння (3), відповідає енергія

${{\varepsilon }_{n}}={\frac {eHv_{x}{{h}_{n}}}{c}}={\frac {v_{x}}{2}}{{\left[{\frac {3\pi e\hbar H}{c{\sqrt {p}}}}\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\right]}^{2/3}}.\quad \quad (4)$

Квантова теорія. Загальний випадок

Розглянемо метал, з довільним законом дисперсії електронів провідності $\varepsilon =\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$. Магнітні поверхневі рівні енергії $\varepsilon _{n}$ та хвильові функції $\psi \left(x,y,z\right)$ можуть бути знайдені з рівняння Шредінгера

$\varepsilon \left(\mathbf {\hat {p}} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi \left(x,y,z\right)=\varepsilon \psi \left(x,y,z\right)\quad \quad (5)$

з граничними умовами

$\psi \left(x,0,z\right)=0;\quad \quad \psi \left(x,y\to \infty ,z\right)\to 0,\quad \quad (6)$

де $\mathbf {\hat {p}} ={\frac {i}{\hbar }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ — оператор квазіімпульсу. Магнітне поле спрямоване вздовж осі $z$ . Виберемо векторний потенціал наступним чином $\mathbf {A} =\left(-Hy,0,0\right)$. При малих відстанях $y$ від поверхні $y=0$ розкладання гамільтоніана в точці $p_{y0}$, поблизу якої нормальна компонента швидкості ${{v}_{y0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{y0}}=0$, має вигляд:

${\hat {\varepsilon }}=\varepsilon \left({{\hat {p}}_{x}},{{p}_{y0}},{{\hat {p}}_{z}}\right)+{\frac {\partial \varepsilon }{\partial {{\hat {p}}_{x}}}}{\frac {eHy}{c}}-{\frac {{\hbar }^{2}}{2}}{\frac {{{\partial }^{2}}\varepsilon }{\partial p_{y0}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{y}^{2}}}}.\quad \quad (7)$

Хвильова функція визначає вільний рух електрона у площині $xz$ та обмежений квантований рух уздовж осі $y$ :

$\psi \left(x,y,z\right)={{\varphi }_{n}}\left(y\right)\exp \left({\frac {i}{\hbar }}{{p}_{x}}x+{\frac {i}{\hbar }}{{p}_{z}}z\right).\quad \quad (8)$

Підставляння хвильової функції (8) у рівняння Шредінгера (5) з гамільтоніаном (7) призводить до рівняння для функції ${{\varphi }_{n}}\left(y\right)$, що збігається з рівнянням Шредінгера для частинки в трикутній квантовій ямі (рівняння для функцій Ейрі). Вирішення цього рівняння, що задовольняє граничній умові $\varphi \left(y\to \infty \right)\to 0$, виражається через функцію Ейрі 1-го роду, $Ai(y)$ :

$\varphi \left(y\right)={{C}_{n}}Ai\left(\alpha y-\alpha {{y}_{\varepsilon }}\right),$

де $C_{n}$ — нормувальна константа,

$\alpha ={{\left(2{{v}_{xo}}{{m}_{yy0}}{\frac {eH}{c{{\hbar }^{2}}}}\right)}^{1/3}};\quad {{y}_{\varepsilon }}={\frac {\varepsilon -\varepsilon \left({{p}_{x}},{{p}_{y0}},{{p}_{z}}\right)}{eH/c}}.$

Тут ${{v}_{x0}}=\partial \varepsilon /\partial {{p}_{x}}$ — $x$ — компонента швидкості електрона, ${m_{yy0}^{-1}}={{\partial }^{2}}\varepsilon /\partial p_{y0}^{2}$ — відповідна компонента тензора зворотних ефективних мас при $p_{y}=p_{y0}$. Квантові рівні енергії можуть бути знайдені за допомогою граничної умови ${{\varphi }_{n}}\left(0\right)=0$, що призводить до вимоги $\alpha {{y}_{\varepsilon }}={{a}_{n}}$, де $-a_{n}$ — нулі функції Ейрі, $Ai(-a_{n})=0$ . В результаті отримуємо:

${{\varepsilon }_{n}}={\frac {{{\hbar }^{2}}{{\alpha }^{2}}{{a}_{n}}}{2{{m}_{yy0}}}}={\frac {{a}_{n}}{2}}{{\left({\frac {2\hbar eH{{v}_{x0}}}{c{\sqrt {{m}_{yy0}}}}}\right)}^{2/3}}.\quad \quad (9)$

При досить великих значеннях $n$ справедлива наступна асимптотична формула : ${{a}_{n}}\simeq {{\left[(3\pi /2)\left(n-1/4\right)\right]}^{2/3}}$ .

Експериментальне спостереження

Магнітні поверхневі рівні проявляють себе, наприклад, у вигляді резонансів у поверхневому опорі металу, що вимірюється на надвисоких частотах $\omega$ залежно від величини магнітного поля, спрямованого вздовж поверхні. Частоти резонансів задовольняють умові

$\omega ={{\omega }_{nm}}={\frac {{{\varepsilon }_{n}}-{{\varepsilon }_{m}}}{\hbar }},$

де рівні енергії ${{\varepsilon }_{n\left(m\right)}}$ визначаються формулою (9), в якій значення швидкість та ефективну масу слід взяти при значенні енергії, рівному енергії Фермі, а проєкцію імпульсу на напрямок магнітного поля, $p_{z}$, слід визначити з умови екстремуму $\partial {{\omega }_{nm}}/\partial {{p}_{z}}=0$. Інтервал полів, у якому спостерігається резонансний ефект, становить від сотих часток до одиниць ерстеда при частоті близько 10 ГГц.