Ме́тод статисти́чної лінеариза́ції — метод, що полягає в заміні нелінійних характеристик елементів систем автоматичного керування (САК) лінійною залежністю, еквівалентною в значенні наближення перших двох моментів закону розподілу вхідних координат.
Сутність методу полягає в тому, що нелінійна залежність
![{\displaystyle \!Z(t)=F\left[X(t)\right]\,\,\,(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/260ebe2bdc20c777391e384c022e0b8223586552)
зв'язуюча вхідну
і вихідну
випадкові змінні деякого елемента САК замінюється лінійною функцією вигляду
де
— математичне сподівання випадкової величини
,
і
— деякі невідомі (не випадкові) функції, які визначаються так, щоб
найкращим чином апроксимувала
у вищезгаданому значенні. Для збігу перших моментів (математичних сподівань) необхідне виконання рівності
Функцію
визначають з умов наближення других моментів різними способами:
- 1) З умови рівності дисперсій
і
(функція
тут позначається
:
, тобто
![{\displaystyle \!a{}_{1}(t)=\pm {\frac {\sigma {}_{z}(t)}{\sigma {}_{x}(t)}}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a1fba2e97d8fd91b27e2ae55770e49ef13c0f4b)
де знак в правій частині рівності повинен бути вибраний так, щоб характер зміни функцій
і
був однаковим (наприклад, якщо
, то повинен бути узятий «+», а якщо
, то повинен бути узятий «—»).
- 2) З умови мінімуму дисперсії різниці
(тут функція
позначена
):
![{\displaystyle \!\min \,D\,\{F[X(t)]-a_{2}(t)[X(t)-{\overline {x}}(t)]-b(t)\}.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89d3efde1a5efeccc1ed12c26601dc6f6c7335a)
Обчисливши значення дисперсії в (5) і мінімізувавши отриманий вираз по
відомими методами, отримаємо
де
— кореляційний момент
і
. Функції
і
, природно, не збігаються між собою і не можуть бути вказані загальні міркування на користь того або іншого способу визначення
. Виходячи з досвіду практичних розрахунків, рекомендується як
брати напівсуму
і
:
![{\displaystyle \!a(t)={\frac {1}{2}}[a_{1}(t)+a_{2}(t)].\,\,\,\,\,\,\,\,\,(7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1927b1625346910cade2fe86080e24f81cd8c8c)
Для обчислення виразів (3), (4), (6) необхідно мати закон розподілу (густина ймовірності)
ординати випадкової функції
у момент
. Тоді за загальними формулами для математичного сподівання можна визначити
![{\displaystyle \!\mathop {\sigma } _{x}^{2}(t)=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{F^{2}(x)}\,f(x)\,dx-{\overline {z^{2}}}(t);\,\,\,\,\,\,\,\,\,(9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/814c45e94b4ea35f08d6f9547d37c05337c6e20e)
і
Тут
для нестаціонарних процесів
залежить від
як від параметра.
Метод застосовний і для нелінійних систем із зворотним зв'язком. В цьому випадку аргументом характеристики нелінійної ланки буде не вхідна функція
, а сума
вхідної і вихідної функцій, а лінеаризувати належить
.
Формально і тут можна покласти
Для визначення
і
тут, окрім закону розподілу
необхідно мати також закон розподілу суми
.
Оскільки параметри
невідомі, то звичайно при розрахунках вважають, що сума
задовольняє нормальному закону розподілу. Це припущення виправдано лише в тому і лише у тому випадку, коли в замкнутому контурі міститься лінійна інерційна ланка з великою сталою часу. Тоді, як відомо, розподіл вихідної координати
наближається до нормального навіть при значних відмінностях закону розподілу на вході інерційного елемента від нормального.
- Енциклопедія кібернетики : у 2 т. / за ред. В. М. Глушкова. — Київ : Гол. ред. Української радянської енциклопедії, 1973.
- Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М,, 1962 [библиогр. с. 873—878;
- Казаков И. Е., Доступов Б. Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. М., 1962 [библиогр. с. 325—328].