Поліноми Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Ортогональні поліноми
Якобі
Відкриті Карла Густава Якоба Якобі в 1859 році
Формула
Диференціальне рівняння
Визначені на
Вага
Норма
Примітки

Поліноми Якобі — це клас ортогональних поліномів. Вони названі на честь Карла Густава Якоба Якобі.

Визначення

[ред. | ред. код]

Вони походять з гіпергеометричних функцій у тих випадках, коли наступні ряди кінцеві:

де є символом Похгаммера (для зростаючого факторіалу), (Абрамович і Стегун стор.561 [Архівовано 17 серпня 2005 у Wayback Machine.]) і, таким чином, явний вираз

Звідки одне з кінцевих значень наступне.

Для цілих

де  — звичайна Гамма-функція, і

Ці поліноми задовольняють умові ортогональності.

для і .

Існує відношення сіметрії для поліномів Якобі.

а тому інше значення поліномів:

Для дійсного поліном Якобі може бути записаний наступним чином.

де і . У спеціальному випадку, коли , , і  — невід'ємні цілі, поліном Якобі може приймати наступний вигляд

Сума береться по всім цілим значенням , для яких множники є невід'ємними.

Ця формула дозволяє виразити d-матрицю Вігнера () у термінах поліномів Якобі[1]

Похідні

[ред. | ред. код]

k-та похідна явного виразу призводить до

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Andrews, George E.; Askey, Richard; Roy, Ranjan (1999), Special functions, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, т. 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2, MR1688958 {{citation}}: Перевірте значення |isbn=: недійсний символ (довідка)
  • Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255 {{citation}}: Cite має пустий невідомий параметр: |1= (довідка)