Правильні багатовимірні многогранники

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Правильний n-вимірний многогранникмногогранники n-вимірного евклідового простору, які є найбільш симетричними в деякому сенсі. Правильні тривимірні многогранники називаються також платоновими тілами.

Визначення

[ред. | ред. код]

Прапором n-вимірного многогранника називається набір його граней , де є -вимірна грань многогранника Р, причому для .

Правильний n-вимірний многогранник — це опуклий n-вимірний многогранник , у якого для будь-яких двох його прапорів і знайдеться рух , який переводить в .

Класифікація

[ред. | ред. код]

В розмірності n = 4

[ред. | ред. код]
Див. також: 4-політоп

Існує 6 правильних чотиривимірних многогранників (багатокомірників):

Назва Зображення
(діаграма Шлегеля)
Символ
Шлефлі
Комірка Число
комірок
Число
граней
Число
ребер
Число
вершин
5-комірник {3,3,3} правильний
тетраедр
5 10 10 5
Тесеракт {4,3,3} куб 8 24 32 16
16-комірник {3,3,4} правильний
тетраедр
16 32 24 8
24-комірник {3,4,3} октаедр 24 96 96 24
120-комірник {5,3,3} додекаедр 120 720 1200 600
600-комірник {3,3,5} правильний
тетраедр
600 1200 720 120

В розмірності n ≥ 5

[ред. | ред. код]

У кожній з більш високих розмірностей існує по 3 правильних многогранники (політопи):

Назва Символ Шлефлі
n-вимірний

правильний симплекс

{3;3;...;3;3}
n-вимірний

гіперкуб

{4;3;...;3;3}
n-вимірний

гіпероктаедр

{3;3;...;3;4}

Геометричні властивості

[ред. | ред. код]

Двогранний кут між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника, заданого своїм символом Шлефлі , визначається за формулою[1][2][3]

де — половина кута між (n-1)-вимірними суміжними гранями правильного n-вимірного многогранника.

Радіуси, об'єми

[ред. | ред. код]

Радіус вписаної N-вимірної сфери:

де — радіус вписаної (N-1)-вимірної сфери межі.

Об'єм N-вимірного многогранника:

де — об'єм (N-1)-вимірної межі, — кількість (N-1)-вимірних граней.

Замощення

[ред. | ред. код]

В розмірності n = 4

[ред. | ред. код]

В розмірності n ≥ 5

[ред. | ред. код]

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Sommerville D.M.Y. An Introduction to the Geometry of n Dimensions. — London, 1929. — С. 189. — 196 с.
  2. Coxeter H.S.M. Regular Polytoopes. — London, 1948. — С. 134. — 321 с.
  3. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. — Наука, 1966. — С. 193.

Посилання

[ред. | ред. код]
  • Regular Polytopes (Platonic solids) in 4D. 2003. Архів оригіналу за 4 травня 2012. Процитовано 30 січня 2011.