Теорія балки Тимошенка

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорія балки Тимошенка (англ. Timoshenko beam theory) — теорія деформації згину, що була розроблена вченим та інженером українського походження Степаном Тимошенком на початку 20-го століття.[1][2] Ця модель враховує деформацію зсуву та обертальні інерційні ефекти, що робить її придатною для опису поведінки коротких балок, сендвіч-композитних балок або балок, що знаходяться під дією високочастотних коливань, коли довжина хвилі наближується до товщини самої балки.

Деформація балки Тимошенка (синя) в порівнянні з балкою Ейлера-Бернуллі (червона).

Результатом застосування цієї теорії є рівняння 4-го порядку, але на відміну від звичайної моделі — тобто теорії балки Ейлера-Бернуллі — в рівнянні також присутня просторова похідна другого порядку. Враховуючи нові деформаційні ефекти, наведені вище, балка Тимошенка має меншу жорсткість, але більший прогин під статичним навантаженням, а також нижчі власні частоти для заданого набору граничних умов. Останній ефект стає помітним при більш високих частотах, так як довжина хвилі стає коротшою, і таким чином відстань між протилежними силами зсуву зменшується.

Якщо модуль зсуву балки прямує до нескінченності, тобто балка стає повністю жорсткою проти деформації зсуву, а також якщо обертальні інерційні ефекти не враховуються, то теорія балки Тимошенка спрощується до звичайної теорії балки.

Квазістатична балка Тимошенка

[ред. | ред. код]
Деформація балки Тимошенка. Нормаль обертається на величину , яка не дорівнює .

У статичній теорії балки Тимошенка без осьових ефектів, переміщення точки визначається так:

де координати точки, компоненти вектора переміщення у трьох вимірах, кут обертання нормалі відносно центральної осі балки, переміщення центральної осі балки у напрямку .

Основні рівняння включені у систему звичайних диференціальних рівнянь:

теорія Тимошенка для статики еквівалентна теорії Ейлера-Бернуллі, якщо останнім членом зазначеним вище можна знехтувати, а також якщо

де довжина балки.

Комбінування двох даних рівнянь для однорідної балки з постійним поперечним перерізом дає

Згинальний момент та сила зсуву у балці пов'язані з переміщенням та обертанням . Цей зв'язок для лінійної пружної балки Тимошенка можна записати так:

Граничні умови

[ред. | ред. код]

Для розв'язання двох рівнянь, що описують деформацію балки Тимошенка, вони мають бути доповнені граничними умовами. Щоб задача була поставлена коректно, необхідно мати чотири граничні умови. Типові граничні умови бувають:

  • Балки, що вільно спираються: Переміщення дорівнює нулю в двох точках опори. Згинальний момент має бути вказаним, а обертання та поперечна сила зсуву не вказані.
  • Консольні балки: Переміщення та обертання дорівнюють нулю в точці закріплення балки. Якщо один із кінців балки вільний, то сила зсуву та згинальний момент мають бути вказані.

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.
  2. Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.